竜田揚助の数理科学解説所

数学、物理、について書いてます。

複素解析

複素積分をぱぱっとpart6完(実数関数の積分への応用/ディリクレ積分)

前回までの記事で、ディリクレ積分 を求めるための準備は整いましたから、いよいよそれらをフル活用して解いていきます。 【目次】 複素積分を用いてディリクレ積分を解く 複素積分を用いずにディリクレ積分を解く 複素積分を用いてディリクレ積分を解く 【s…

複素積分をぱぱっとpart5(留数定理/実数の積分への応用の準備)

いよいよ今回をもちましてこのコラムは完結になります。名残惜しいですが頑張っていきましょう。 《留数定理》 内部に極があるようなループに沿った複素積分は一般に0にはなりません。そこでその値を求めるときに役立つのが留数定理になります。早速見ていき…

複素積分をぱぱっとpart4(テイラー展開/ローラン展開/特異点の分類)

今回は複素関数を冪級数に展開していくことを考えます。冪級数展開の仕方は2通りあり、大雑把に言えば、 展開の中心で関数が正則→テイラー展開 展開の中心が正則でない→ローラン展開 と使い分けます。順に見ていきましょう。 《テイラー展開》 点の位置関係…

複素積分をぱぱっとpart3(ストークスの定理/グリーンの公式/コーシーの積分公式/コーシーの積分定理)

今回は複素積分する際に役立つ(役立つのはもちろん今後の議論のかなめとなる)公式として、コーシーの積分公式とコーシーの積分定理を見ていきます。(この二つが名前は似てますが一応別物です) 《ストークスの定理》 ベクトル解析の分野でストークスの定理と…

複素積分をぱぱっとpart2(複素積分の定義/平面上の集合の分類)

今回は複素積分の基本を見てみます。 実数の積分から複素数の積分に移るときの一番の変更点は積分の範囲が区間から経路になることです。 実数関数の積分の範囲を指定するのには’’0からπまで’’というように始めと終わりさえ言えばよかったのに、複素積分では…

複素積分をぱぱっと part1:複素微分(コーシーリーマン方程式/複素偏微分)

このコラムでは複数の記事にわけて複素積分の大枠を解説していき、最終的には下のようなディリクレ積分と呼ばれる有名問題を解いていきます。 実はこの問題は複素積分を使わないと解くのはだいぶ難しく、エレガントな発想を必要とします。この積分を複素数で…