竜田揚助の数理科学解説所

数学、物理、について書いてます。

読めばわかる一般相対論part7(ビアンキの恒等式)

今回でいよいよ一般相対論の準備が完了します。

まずはヤコビの恒等式というものを紹介して、それの応用バージョンとしてビアンキ恒等式が成立することを確認します。

 

《ヤコビの恒等式

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という演算を定めます。

この演算がもしも、

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という式を満たすなら、「この演算方法はヤコビの恒等式を満たす」と言います。

この演算の特殊なヴァージョンとして、

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を考えます。果たしてこの時はヤコビの恒等式は満たされるのでしょうか。(満たされるから紹介しているわけですが)

さっそく展開すれば、第一項は、

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他の項も同様にすれば計算できて、

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となります。

というわけで、このケースではヤコビの恒等式を満たすことがわかりました。

次にこの事実をもとにビアンキ恒等式を導いてみましょう。

 

ビアンキ恒等式

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の時はヤコビの恒等式をみたしますので、ヤコビの恒等式の左辺に右からベクトル成分Aを掛け合わせても、結果は0に変わりなくて、

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のように第一項は計算されます。ここで④はなかなか大変そうですから、単独で計算していくこととします。▽Aは上と下に添字が一つづつ付いたテンソルですから、より一般化して、

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を考えていけばよいでしょう。共変微分の決まりに従い展開すれば、

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となります。ここで④‘を考えた時に打ち消しあって0となるであろう項にはエメラルドグリーンのラインを引いておきました。

すると結局、

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となり、⑤に適用して、

 

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が分かります。

ですからヤコビの恒等式の左辺は、(他の2項も同様にして、)

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と計算されます。

最後に、上式は0となるわけですが、それは⑥、⑦の値がなんであってもよいわけですから、

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が常に成立しているのだとわかります。

実はこの2式のうち上側が今回導きたかった、ビアンキ恒等式と呼ばれるものです。

 

これでようやく一般相対論の準備は完了です。

次回は一般相対論の基本原理を見ていきます。

もしよろしければご覧ください。