竜田揚助の数理科学解説所

数学、物理、について書いてます。

流れがわかる流体力学part2(ベルヌーイの定理とその応用)

今回はベルヌーイの定理と呼ばれる、流体力学におけるエネルギー保存則的なものを導出していき、その使用例を紹介いたします。

【目次】

完全流体で渦なしのケースのベルヌーイの定理

完全流体であれば、流体の運動方程式のx成分は

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です。これは前回の記事で導出いたしましたのでよろしければこちらよりご覧ください。さらに渦なしであれば、速度ベクトルのローテーションは0なので、

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より、 x成分に注目して、 

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がわかります。また、渦なしの場合は速度ポテンシャルが

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のように定義できました。以上の関係を、運動方程式のx成分に代入して変形すれば、

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が得られます。ほかのy,z成分についても同様の式が得られますので、これらを考慮して、

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という関係がわかります。ベルヌーイの定理はこの関係式の成立を主張したものです。

(右辺は、空間成分に依存しないのは確かですが、時間に依存する可能性は十分考えられるためTの関数としてf(t)と表しています。)

特に考えているのが定常流であれば、右辺もΦもtによらないため、f(t)が0になるように適当にポテンシャルUの基準を決めることができますから、

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とすることができます。このことをベルヌーイの定理の式に代入すれば、

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がわかります。(①の成立は、完全流体で、渦なしで、定常流のときです。)

 

完全流体の定常流において流線に沿って成り立つベルヌーイの定理

これまでは「完全流体/渦なし」のケースでベルヌーイの定理が成り立つことを見てきましたが、実はこれは「完全流体/定常流/流線沿う」という条件の元でも成り立ちます。以下ではこのことを確かめていきますが、その前にまずは流線とはなにか説明いたします。

 

流線

流速ベクトルをつなぎ合わせてできる曲線のことです。逆に言えば流線上の各点における接線はその点における流速ベクトルに平行になります。

 

流管

ある閉曲線上にある流線をすべて集めてできる曲線のことです。ちょうど下図のようなストロー型になります。

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渦線

渦ベクトルをつなぎ合わせてできる曲線のことです。逆に言えば渦線上の各点における接線はその点における渦度ベクトルに平行になります。

 

渦管

ある閉曲線上にある渦線をすべて集めてできる曲線のことです。こちらも流管と同様でストロー型になります。

 

渦糸

渦管の太さが十分小さくなったものは渦糸と呼ばれます。

 

このようにして流線は定められます。

(ここでは流線のついでに流管や渦管などについても述べましたが、それは小出しにして紹介するよりまとめてしまったほうが良いと思ったからであり、この記事ではそれら全てを使っていくわけではありません。)

 

それでは、ベルヌーイの定理を確認していきます。

まず運動方程式は、

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です。この式は定常流であることから、

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となります。ここで今考えているのは流線沿った場合ですから(x,y,z)が流線に沿って動くものとしてみます。

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このとき流線をパラメータ表示するわけですが、そのパラメータsを流線上のある定点から点(x,y,z)までの流線の長さであるとします。そうすると、sの時間変化率は流速ですので、

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となります。y,z成分も同様にして、

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となりまして、これらを運動方程式に代入すると、

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となります。さらに、

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によって、上式の|u|を消去して整理すると、

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になります。これは運動方程式のx成分ですが、y,z成分についても同様で、まとめると、

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がわかります。これはすなわち、

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を示しており、これで完全流体の定常流において流線に沿った場合のベルヌーイの定理を示せました。

ここで一つ注意が必要なのは、上の式は「同じ流線上の2点間では左辺の値が一定である」ということしか言っておらず、異なる流線上については何も言っていないという点です。

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せっかくベルヌーイの定理を導くことができましたのですこし使ってみることにします。

 

ベルヌーイの定理の使用例(1)

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上図のように水槽に穴が開いていてそこから水が噴き出しているとき、その流速を求めてみます。赤い線で流線を表しますと、

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において、①=②ですので、これをvについて解けば、

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となります。ここで水槽が十分大きければAにおける流速は十分小さいとみなせることを考慮しました。

 

ベルヌーイの定理の使用例(2)

つぎのような、途中で太さの変わる管を考えます。

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このとき、ベルヌーイの定理

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となりますので、太いほうが流速が小さく、細いほうが流速が大きいことを考慮して、

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という関係がわかります。これは若干意外でしょうか。私なんかは細いほうが圧力が高くなりそうだと思い込んでしまします。

 

以上で今回の内容は紹介し終えました。次回は流れ関数などを導入してもう少し本格的に流体力学を考えてみようと思いますのでよろしければご覧ください。

 

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