竜田揚助の数理科学解説所

数学、物理、について書いてます。

流れがわかる流体力学part8(渦糸の運動で成り立つ保存則について)

今回から何回かに分けて二次元上の渦について見ていくことにいたします。

まず始めにこの記事では渦糸の複素速度ポテンシャルを求め、複数の渦糸がある系に見いだされる保存量を4つほど導出します。

 

【目次】

 

渦糸の定義

 

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まずは、上のような円の内部に一定の渦度を持った流体を考えていきます。このときの循環は、ストークスの定理を用いれば、

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となります。このような渦において、循環が一定のままで半径aを0に近づけていく極限を取っていくことにします。つまり、

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という極限を考えるのです。この極限を考えると、循環の大きさが一定のまま渦のサイズだけが0になっていくことになります。このようにサイズが0で有限の循環を持った渦を渦糸といい、これが本稿のメインテーマであります。

 

渦糸の流れ関数

次に渦糸の流れ関数を求めていきます。

まずは渦糸の位置を原点として、そのときの流速ベクトルの各成分を、

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と置きます。このローテーションを計算し、それが原点以外で0になるようなαを求めます。(渦糸の場合は)

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よって流速は、

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になります。この時の循環は、

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と計算されますので、Γを用いれば、

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になります。さらに流速を流れ関数を用いて表すと、

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となるので、

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を用いて流れ関数を求めると、

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より、

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であることがわかります。

以上で一つの渦糸が系にある場合の流れ関数を求めることができました。以降はこの渦糸が複数個ある場合を考えていきます。

 

複数の渦糸がある系での保存量

まず、下図のように、系に複数の渦糸があったとします。

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i 番目の渦糸に注目して、これとj番目の渦糸との距離をrijとおきます。また、i番目の渦糸の循環はΓiとしておきます。そうすると、i番目の渦糸のある位置における流れ関数は、

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と表されます。ですから、i番目の渦糸の運動は、

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で表されることがわかります。(上の式は流れ関数の定義式そのものです)

 

保存量①〜エネルギーっぽいやつ〜

そこで

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という物理量を導入します。Hをk番目の渦糸のx座標xkで微分すると、

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になりますので、流れ関数の定義式より、

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が成り立ちます。ここで解析力学に出てくるハミルトニアンについて成り立つ式:

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を思い返せば、今回導入したHとハミルトニアンはほとんど同じ形式の式を満たしていることがわかります。このことからHは保存量になるような気がします。実際に時間で微分すると、

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ですので、やはり保存量です。これは解析力学との類推でエネルギーなのではないかと思われるわけですが、エネルギーとはなんら関係がありませんので注意が必要です。

 

保存量②〜運動量っぽいもの〜

Hは渦糸の相対距離にしかよりませんので、微小な平行移動に関してこれは不変であります。つまり、全体をδxだけ平行移動した時のHの変移をδHとして、

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が成り立つのです。これはすなわち、

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であることを示しています。この式でΓを質量とみなすことで上式が運動量保存則に対応していることがわかります。

 

保存量③〜慣性モーメントっぽいもの〜

前節では平行移動に関する不変性に注目しましたが、それと同様のことが回転についても言えそうです。そこで座標を微小角度δθだけ回転させることを考えます。この時座標成分は、

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と変換されます。δθが微小であれば赤字のように近似されますので、結局

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のように変化します。この変化に関してHの変化量δHは不変ですから、

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という式が成り立ち、

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が成立することが示されます。これは、Γを質量と見做せば慣性モーメントに対応しています。(慣性モーメントっぽいというだけ、慣性モーメントとは違います。)

 

保存量④〜角運動量保存則っぽいもの〜

最後の保存則はすこし凝った方法で導出されます。まずHの変数を全てλ倍すると、

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となります。両辺をλで微分すると、左辺は

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となり、右辺は

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となります。そこでλ=1を入れると、

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の成立が言えます。この式でΓを質量と見做すことで角運動量に対応していると考えられます。この導出方法は初めて見ると不自然に思われるかもしれませんが、熱力学や解析力学などでよく出てくる一般的なものです。

 

以上で4つの保存量が導かれました。せっかくですので次回はこれらを用いて渦糸の2体運動を解いていきます。

 

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